হুম, গোলকের কথা বলছি; নিরেট গোলক।
আজকে দেখাবো গোলকের আয়তন নির্ণয়ে ক্যাভালিয়েরির মূলনীতির (Cavalieri's Principle) অনিন্দ্য প্রয়োগটি।
ধরা যাক যে, আমরা r একক ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন নির্ণয় করতে যাচ্ছি।
চিত্র-1
এখন গোলকটিকে যদি আমরা অনেক-অনেকগুলি ধারালো ;-) আনুভূমিক তল (Horizontal Planes) দ্বারা ছেদ করি, তাহলে যে অবস্থায় উপনীত হবো, সে অবস্থায় যদি বলি যে, একটি গোলক আসলে অনেকগুলি খুবই চিকন বৃত্তাকার ডিস্ক দ্বারা গঠিত, তবে কেউই আপত্তি করবে না। কারণ, অবস্থাটা আসলে এমন হয়ে দাঁড়ায়---
চিত্র-2
এখন, গোলকের কেন্দ্র হতে x একক উল্লম্ব দূরত্বে অবস্থিত এমন একটি বৃত্তীয় ডিস্কের কথা ভাবা যাক।
চিত্র-3
ধরা যাক, প্রতিটি ডিস্কের পুরুত্ব t একক। এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে দেখানো যাবে যে, এই বৃত্তাকার ডিস্কের ব্যাসার্ধ,
চিত্র-4
যেহেতু ডিস্কটি একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারপ্রায়, সেহেতু এর আয়তন হবে
এই আয়তনটাকে আমরা অন্য দু'টি ডিস্কের আয়তনের বিয়োগফল হিসেবে দেখতে পারি, যেগুলির একটি আসবে একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার (Right Circular Cylinder) হতে, যার উচ্চতা 2r একক ও ভূমির ব্যাসার্ধ r একক; আরেকটি আসবে একটি সমবৃত্তভূমিক দ্বি-কোণক (Right Circular Double Cone) হতে, যার ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং মোট উচ্চতা 2r একক।
চিত্র-5
উল্লেখ্য যে, সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকটি আলোচ্য গোলকের সাথে একই আনুভূমিক তলে রাখা। আরও উল্লেখ্য যে, একই আনুভূমিক তলগুচ্ছ দ্বারা এদের তিনটিকে ছেদ করা হয়েছে।
চিত্র-6
যেহেতু যেকোন আনুভূমিক উচ্চতায় উপরের চিত্র-সমীকরণের বামপক্ষের একটি ডিস্কের আয়তন, ডানপক্ষের ডিস্কদ্বয়ের আয়তনসমূহের বিয়োগফলের সমান, সেহেতু বামপক্ষের ঘনবস্তু তথা গোলকের আয়তন হবে ডানপক্ষের ঘনবস্তুদ্বয় তথা সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকের আয়তনের বিয়োগফলের সমান।
আর আমরা ইতোমধ্যে সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকের আয়তনের সূত্র জানি।
তাহলে, গোলকের আয়তন হবে
এটিই গোলকের আয়তনের সূত্র।
যাই হোক, এখন একটু অতিরিক্ত কথা বলি; হুম, ছবির ভাষায়।
যেহেতু,
চিত্র-7 ,
সেহেতু চিত্র-6 হতে পাই,
চিত্র-8
আপনার বন্ধুদেরকে ট্যাগ করুন কিংবা পোস্টটি শেয়ার করুন।
আজকের মত টা টা। :)
সবাই ভাল থাকুন, সুস্থ্য থাকুন।
সবাইকে অনেক অনেক ধন্যবাদ।
আল্লাহ হাফেজ।
বিঃদ্রঃ নোটটি লিখতে বিভিন্ন তথ্য, ছবির জন্য ইন্টারনেটের সাহায্য নেওয়া হয়েছে।
আজকে দেখাবো গোলকের আয়তন নির্ণয়ে ক্যাভালিয়েরির মূলনীতির (Cavalieri's Principle) অনিন্দ্য প্রয়োগটি।
ধরা যাক যে, আমরা r একক ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন নির্ণয় করতে যাচ্ছি।
চিত্র-1
এখন গোলকটিকে যদি আমরা অনেক-অনেকগুলি ধারালো ;-) আনুভূমিক তল (Horizontal Planes) দ্বারা ছেদ করি, তাহলে যে অবস্থায় উপনীত হবো, সে অবস্থায় যদি বলি যে, একটি গোলক আসলে অনেকগুলি খুবই চিকন বৃত্তাকার ডিস্ক দ্বারা গঠিত, তবে কেউই আপত্তি করবে না। কারণ, অবস্থাটা আসলে এমন হয়ে দাঁড়ায়---
চিত্র-2
এখন, গোলকের কেন্দ্র হতে x একক উল্লম্ব দূরত্বে অবস্থিত এমন একটি বৃত্তীয় ডিস্কের কথা ভাবা যাক।
চিত্র-3
ধরা যাক, প্রতিটি ডিস্কের পুরুত্ব t একক। এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে দেখানো যাবে যে, এই বৃত্তাকার ডিস্কের ব্যাসার্ধ,
চিত্র-4
যেহেতু ডিস্কটি একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারপ্রায়, সেহেতু এর আয়তন হবে
এই আয়তনটাকে আমরা অন্য দু'টি ডিস্কের আয়তনের বিয়োগফল হিসেবে দেখতে পারি, যেগুলির একটি আসবে একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার (Right Circular Cylinder) হতে, যার উচ্চতা 2r একক ও ভূমির ব্যাসার্ধ r একক; আরেকটি আসবে একটি সমবৃত্তভূমিক দ্বি-কোণক (Right Circular Double Cone) হতে, যার ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং মোট উচ্চতা 2r একক।
চিত্র-5
উল্লেখ্য যে, সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকটি আলোচ্য গোলকের সাথে একই আনুভূমিক তলে রাখা। আরও উল্লেখ্য যে, একই আনুভূমিক তলগুচ্ছ দ্বারা এদের তিনটিকে ছেদ করা হয়েছে।
চিত্র-6
যেহেতু যেকোন আনুভূমিক উচ্চতায় উপরের চিত্র-সমীকরণের বামপক্ষের একটি ডিস্কের আয়তন, ডানপক্ষের ডিস্কদ্বয়ের আয়তনসমূহের বিয়োগফলের সমান, সেহেতু বামপক্ষের ঘনবস্তু তথা গোলকের আয়তন হবে ডানপক্ষের ঘনবস্তুদ্বয় তথা সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকের আয়তনের বিয়োগফলের সমান।
আর আমরা ইতোমধ্যে সিলিন্ডার ও দ্বি-কোণকের আয়তনের সূত্র জানি।
তাহলে, গোলকের আয়তন হবে
এটিই গোলকের আয়তনের সূত্র।
যাই হোক, এখন একটু অতিরিক্ত কথা বলি; হুম, ছবির ভাষায়।
যেহেতু,
চিত্র-7 ,
সেহেতু চিত্র-6 হতে পাই,
চিত্র-8
আপনার বন্ধুদেরকে ট্যাগ করুন কিংবা পোস্টটি শেয়ার করুন।
আজকের মত টা টা। :)
সবাই ভাল থাকুন, সুস্থ্য থাকুন।
সবাইকে অনেক অনেক ধন্যবাদ।
আল্লাহ হাফেজ।
বিঃদ্রঃ নোটটি লিখতে বিভিন্ন তথ্য, ছবির জন্য ইন্টারনেটের সাহায্য নেওয়া হয়েছে।
Nahid Hasan and 43 others like this.
Samim Ul Islam
ভাই,সিলিন্ডার& দ্বি-কোণক বিয়োগফল ar jinis ta bujlam na, kemna বিয়োগফল গোলকের আয়তন
Hide12 June 2014
Deflected Minded Rakib
গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্রটা নিয়ে অনেকদিন ভেবেছি কিন্তু লাভ হয়নি| এডমিন আপনাকে ধন্যবাদ...
Hide14 June 2014
মুহাম্মাদ রাসেল পারভেজ
আসলে ক্যালকুলাসের মাধ্যমে ব্যাপারটা আরো সহজে দেখানো যায়
আমার উদ্দেশ্য ছিল আসলে ক্যাভালিয়েরির মূলনীতিটা ইলাস্ট্রেট করা..
আপনিও স্বাগত
আমার উদ্দেশ্য ছিল আসলে ক্যাভালিয়েরির মূলনীতিটা ইলাস্ট্রেট করা..
আপনিও স্বাগত
Hide14 June 2014
Deflected Minded Rakib
এবার বলুন ক্যালকুলাসের সাহায্যে কিভাবে করা যায়? প্রয়োজনে আরেকটা নোট লিখুন
Hide14 June 2014
